Параграф 11. Гдз по учебнику алгебра 10 класс Никольский глава 1.

Для того, чтобы увеличить изображение на компьютере- прокручивайте колёсико мыши удерживая клавишу Ctrl.

Онлайн Учебник Гдз

Содержание

Задания для повторения

Гдз по алгебре 10 класс Никольский Тригонометрические уравнения и неравенства

2. Глава «Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции»

Параграф 11 «Тригонометрические уравнения и неравенства»

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59




← Параграф 10 Параграф 12 →

Зелёный — рукописный почерк

Фиолетовый — печатный шрифт

Серый — задание отсутствует

Оранжевый — задания для повторения

Гдз по алгебре 10 класс Никольский Тригонометрические уравнения и неравенства
Тригонометрические уравнения и неравенства

Комментарий. Устойчивым является заблуждение абитуриентов о том, что при решении тригонометрических уравнений не нужна проверка. Это — далеко не всегда.

При решении тригонометрических уравнений проверка найденных решений необходима, если:

1) в процессе решения применялись алгебраические преобразования, которые могли привести к расширению области определения уравнения (например, сокращение дробей);

2) в процессе решения применялись тригонометрические преобразования, которые могли привести к расширению области определения уравнения (речь идет о применении тригонометрических формул, левая и правая части которых имеют различные области определения, например:

;

3) в процессе решения применялось возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

Каждая из указанных причин может привести к появлению посторонних корней. Заметим, что применение формул из п. 2 «справа налево», напротив, может привести к потере корней, в силу сужения области определения.

Решение тригонометрических уравнений в большинстве случаев проводится либо с помощью замены переменной, либо разложения на множители, но и тот, и другой способ применяется в разных вариантах в зависимости от вида конкретного уравнения. Поэтому в данном разделе вам предлагается более подробная классификация типов тригонометрических уравнений и методов их решения.

Пример 7.1.

Решить уравнение: .

Решение

Обе части уравнения легко представляются как выражение, зависящее только от tgx:

.

Далее, заменой tgx = y, тригонометрическое уравнение рационализуется:

.

В итоге , т.е. и .

Однако можно заметить, что значения также удовлетворяют исходному уравнению. Это потерянные корни. В чем причина?! В основе преобразований формулы, сужающие область определения: .

(в нашем случае и ).

Комментарий. Еще раз настойчиво предостерегаем от применения приемов решения уравнений, ведущих к сужению области определения и возможной потере корней.

Пример 7.2.

Решить уравнение:

Решение

Перераспределим компоненты уравнения:

Далее, в левой части воспользуемся формулой:

Имеем: т.е.

Теперь представим sin x как синус двойного аргумента:

Перенесем все компоненты уравнения в одну часть и вынесем общий множитель за скобки:

Вновь воспользуемся формулой разности синусов:

Последнее уравнение равносильно совокупности:

Таким образом, уравнение имеет два семейства корней: и , если и бесконечно много корней: если

Ответ: Если , то

Если , то .

Рассмотрим также примеры решения комбинированных уравнений, т.е. уравнений, в которых над переменной, в той или иной комбинации производятся иррациональные, показательно-степенные, логарифмические и тригонометрические операции. Такого рода задания вызывают у абитуриентов определенные трудности. В основе этих трудностей, как правило, лежит некая негативная психологическая установка. Абитуриент как бы говорит себе: «Таких уравнений я в школе не решал; что-то слишком много всего накручено; это мне не по силам». В связи с этим дадим два совета.

Совет первый. По внешнему виду задания нельзя судить о его простоте или трудности; трудность — это характеристика не задания, а действенности Ваших знаний и умений. Начинайте решать, пробуйте, пытайтесь, несмотря на то, что задание кажется вам «страшным» и недоступным.

Совет второй. Решайте комбинированное уравнение как бы по действиям, отграничивая иррациональную часть решения от логарифмической, логарифмическую от тригонометрической и т.п. Осуществить это можно введением новых переменных. В конце решения осуществляйте тем или иным образом проверку корней.

Пример 7.3.

Решить уравнение.

Решение

Пусть тогда . Далее решаем уже не комбинированное, а тригонометрическое уравнение. Воспользуемся формулой синуса двойного аргумента:

«Тригонометрическая часть» решения завершена; далее необходимо решить показательное уравнение с параметром n:

Прежде всего, выясним, при всех ли n у данного уравнения существуют корни. Ясно, что, поскольку левая часть уравнения, как сумма степеней тройки, всегда положительна, то условие существования корней уравнения:

Решим это неравенство. Если n > 0, то Очевидно, что полученная система несовместна. Если n ≥ 0, то

Система равносильна неравенству n ≥ 0.

Таким образом, учитывая, что , получаем вывод: корни у данного уравнения существуют при значениях параметра n: n = 0, 1, 2, 3, … . Именно при этом условии решаем далее показательное уравнение.

Преобразуем левую часть уравнения по свойствам степени:

Тогда имеем:

Таким образом, Это «семейство» логарифмов и составляет множество корней исходного комбинированного (показательно — тригонометрического) уравнения.

Ответ: 

Пример 7.4.

Решить уравнение:

Решение

Прежде всего, укажем область определения уравнения. Она задается условиями:

т.е. системой

Пусть, теперь . Тогда, вместо комбинированного, имеем логарифмическое уравнение с двумя переменными а и b: это уравнение преобразуется в уравнение: Далее, если положить, что то имеем простое рациональное уравнение: Его единственный корень — y = 1. Значит, т.е.

Отсюда b = a, т.е. Корнями этого тригонометрического уравнения является семейство: Нетрудно видеть, что оно удовлетворяет области определения исходного уравнения, а значит, и составляет множество его корней.

Ответ: 

Пример 7.5.

  • Машина

    11.45(а) ошибка! Максон, что за подстава?

  САЙДБАР
МЫ В СОЦ СЕТЯХ

    

НАШЛИ ОШИБКУ?
Система Orphus
СТАТИСТИКА