§ 3. Гдз по Алгебре 10 класс Мордкович профильный уровень Мнемозина Иррациональные числа.

Для того, чтобы увеличить изображение на компьютере- прокручивайте колёсико мыши удерживая клавишу Ctrl.

Содержание

Гдз по Алгебре 10 класс Мордкович профильный уровень Мнемозина Иррациональные числа

§ 3. Иррациональные числа

   




 Параграф § 2 Параграф § 4 →

Гдз по Алгебре 10 класс Мордкович профильный уровень Мнемозина Иррациональные числа
Введение

В по­все­днев­ной жизни мы по­сто­ян­но встре­ча­ем­ся с окруж­но­стью, кру­гом, квад­ра­том. Но и длина окруж­но­сти, и пло­щадь круга, и диа­го­наль еди­нич­но­го квад­ра­та вы­ра­жа­ет­ся ир­ра­ци­о­наль­ны­ми чис­ла­ми. Ир­ра­ци­о­наль­ные числа и есть пред­мет этого урока.

Ко­неч­но, и рань­ше мы встре­ча­лись с чис­лом π (через него вы­ра­жа­ет­ся пло­щадь круга и длина окруж­но­сти), чис­лом . Но вряд ли мы их пред­став­ля­ли как эле­мен­ты мно­же­ства ир­ра­ци­о­наль­ных чисел, это мно­же­ство пока нам неиз­вест­но. А какие мно­же­ства нам из­вест­ны? Да­вай­те вспом­ним.

1. N – на­ту­раль­ные числа (числа для счета пред­ме­тов окру­жа­ю­ще­го мира)  

N =

2. Z – целые числа (на­ту­раль­ные числа, от­ри­ца­тель­ные, ноль) 

Z =

3. Q – ра­ци­о­наль­ные числа (мно­же­ство целых чисел + дроби)

Q =

Также не стоит за­бы­вать про свой­ство ра­ци­о­наль­ных чисел, ко­то­рое гла­сит, что важ­ной осо­бен­но­стью мно­же­ства Q ра­ци­о­наль­ных чисел яв­ля­ет­ся их за­мкну­тость от­но­си­тель­но опе­ра­ций:

— сло­же­ния;

— вы­чи­та­ния;

— умно­же­ния;

— де­ле­ния (не на ноль);

— воз­ве­де­ния в на­ту­раль­ную сте­пень.

В ре­зуль­та­те этих опе­ра­ций с ра­ци­о­наль­ны­ми чис­ла­ми мы снова по­лу­ча­ем ра­ци­о­наль­ное число.

Од­на­ко из­вле­че­ние корня вы­во­дит нас за пре­де­лы мно­же­ства ра­ци­о­наль­ных чисел. На­при­мер,  = 4, и это ра­ци­о­наль­ное число, так как 42 = 16. Дру­гой при­мер –  =  є Q.

Но  – это дру­гой слу­чай, так как по­до­брать число, ко­то­рое в квад­ра­те дает 2, очень слож­но. Это число не яв­ля­ет­ся ра­ци­о­наль­ным.

Зна­чит, мно­же­ство ра­ци­о­наль­ных чисел необ­хо­ди­мо рас­ши­рить, вве­сти нера­ци­о­наль­ные (т. е. ир­ра­ци­о­наль­ные) числа.  яв­ля­ет­ся как раз имен­но таким чис­лом.

Иррациональные числа

Но для на­ча­ла надо обос­но­вать су­ще­ство­ва­ние необ­хо­ди­мо­сти рас­ши­ре­ния мно­же­ства ра­ци­о­наль­ных чисел с по­мо­щью вве­де­ния ир­ра­ци­о­наль­ных чисел.

Рас­смот­рим функ­цию , где

Гра­фик функ­ции (рис. 1):

График функции y = x2

Рис. 1. Гра­фик функ­ции y = x2

Это часть па­ра­бо­лы. С этой функ­ци­ей свя­за­ны две ос­нов­ные за­да­чи, как и с любой дру­гой функ­ци­ей, – пря­мая и об­рат­ная. В связи с этим решим 2-я спо­со­ба­ми несколь­ко про­стей­ших урав­не­ний:

При­мер 1.

Най­дем те зна­че­ния ар­гу­мен­та, при ко­то­рых

Пер­вый спо­соб – ана­ли­ти­че­ский:

Про­из­ве­де­ние равно 0 тогда, когда один из мно­жи­те­лей равен 0, а дру­гой су­ще­ству­ет, по­это­му:

, но по усло­вию

Ответ: 2

Вто­рой спо­соб:

1. Стро­им функ­цию  и

2. На­хо­дим точку пе­ре­се­че­ния по гра­фи­ку и про­ве­ря­ем её

Нашли, про­ве­ри­ли и по­лу­чи­ли тот же ответ – .

При­мер 2.

Ответ в пер­вом слу­чае будет

При ре­ше­нии гра­фи­че­ски мы будем сле­до­вать ин­струк­ции, как и в при­ме­ре 1. От­ве­том будет

При­мер 2.

Пер­вый спо­соб:

Но число по­до­брать слож­но. Про­ве­рим ре­ше­ние гра­фи­че­ским спо­со­бом.

Вто­рой спо­соб:

Па­ра­бо­ла  рас­се­ка­ет­ся пря­мой . При неко­то­ром зна­че­нии ар­гу­мен­та, ко­то­рый обо­зна­чи­ли . Зна­чит, ответ есть. .

Решение уравнения

Рис. 2. Ре­ше­ние урав­не­ния

 – это длина от­рез­ка ОА. Этим же сим­во­лом ( обо­зна­ча­ют длину диа­го­на­ли еди­нич­но­го квад­ра­та.

При из­ме­ре­нии от­рез­ка ОА ли­ней­кой по­лу­чи­ли:

Таким об­ра­зом, мы можем по­лу­чить , если эта­лон из­мель­чить в n раз и взять таких m ча­стей. Но этого сде­лать нель­зя, по­то­му что  ≠ Еще Эв­клид до­ка­зал, что  ≠ .

Доказательство того, что √2 ≠ m/n

До­ка­зать, что  ≠

До­ка­за­тель­ство:

1. Пред­по­ло­жим, что  =

2. Если  =, то n = m

3. При воз­ве­де­нии в квад­рат по­лу­ча­ем:

2n2 = m2

4. Можно счи­тать, что  – несо­кра­ти­мая дробь, по­то­му что если есть общие де­ли­те­ли, то на них можно со­кра­тить. Итак, мы пред­по­ло­жи­ли, что  – это несо­кра­ти­мая дробь . Общих де­ли­те­лей у чисел m и n нет.

2n2 = m2

Левая часть урав­не­ния де­лит­ся на 2, а пра­вая на 4 (каж­дое из m долж­но де­лить­ся на 2). Со­от­вет­ствен­но, m2 де­лит­ся на 4. Тогда и 2n2 де­лит­ся на 4. Так как одна 2 есть, зна­чит, n2 де­лит­ся 2 или n де­лит­ся на 2. m и n де­лят­ся на 2.

5. Мы пред­по­ло­жи­ли, что  = .  – это несо­кра­ти­мая дробь, то есть m и n не имеют общих де­ли­те­лей, но вы­яс­ня­ет­ся, что при пра­виль­но­сти пред­по­ло­же­ния мы имеем про­ти­во­ре­чие.  – со­кра­ти­мая дробь, зна­чит, среди мно­же­ства ра­ци­о­наль­ных чисел не най­дет­ся дроби, ко­то­рая точно рав­ня­ет­ся . Таким об­ра­зом,  ≠ , это ир­ра­ци­о­наль­ное число.

То есть, мы до­ка­за­ли, что число  су­ще­ству­ет и оно ир­ра­ци­о­наль­ное.

Как записать иррациональное число

Мы можем за­пи­сать мно­же­ство ра­ци­о­наль­ных чисел как мно­же­ство несо­кра­ти­мых дро­бей  либо как мно­же­ство де­ся­тич­ных дро­бей, ко­неч­ных или пе­ри­о­ди­че­ских. На­при­мер,  = 2,5;  = 0,333… = 0,(3).

Ир­ра­ци­о­наль­ное число  может быть пред­став­ле­но бес­ко­неч­ной, непе­ри­о­ди­че­ской де­ся­тич­ной дро­бью. За­пи­сы­ва­ют же сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

Су­ще­ству­ют раз­лич­ные спо­со­бы на­хож­де­ния каж­дой вер­ной цифры в дан­ном числе (на­при­мер, ва­ви­лон­ский).

Ир­ра­ци­о­наль­ных чисел много, и их, в неко­то­ром смыс­ле, даже боль­ше, чем ра­ци­о­наль­ных чисел. По­яс­ним это так:

Пред­по­ло­жим, что сумм этих чисел – ра­ци­о­наль­ное число, тогда

 =

Но тогда  – это раз­ность двух ра­ци­о­наль­ных чисел, т. е. число ра­ци­о­наль­ное.

 

Воз­ни­ка­ет про­ти­во­ре­чие, так как  – ир­ра­ци­о­наль­ное число. Итак, един­ствен­но­му числу  со­от­вет­ству­ет много ир­ра­ци­о­наль­ных чисел. Столь­ко, сколь­ко всех ра­ци­о­наль­ных чисел.

Вспом­ним, что такое число π.

π =  ≈ 3,14 ⟹ l = 2 πR

Мы до­ка­за­ли су­ще­ство­ва­ние мно­же­ства ир­ра­ци­о­наль­ных чисел

I =

Рациональное приближение иррациональных чисел

Каж­дое ир­ра­ци­о­наль­ное число пред­став­ля­ет­ся в виде бес­ко­неч­ной де­ся­тич­ной непе­ри­о­ди­че­ской дроби. Но для каж­до­го ир­ра­ци­о­наль­но­го числа су­ще­ству­ет ра­ци­о­наль­ное при­бли­же­ние. При­бли­же­ние можно найти с любой, за­ра­нее за­дан­ной, точ­но­стью. На­при­мер,

 ≈ 1,4;  ≈ 1,7; π ≈ 3,14

Если мы будем скла­ды­вать или пе­ре­мно­жать ир­ра­ци­о­наль­ные числа, то можем по­лу­чать числа. На­при­мер,

Дру­гой при­мер:

(7 + ) + (3 – ) = 10

Еще при­мер:

(7 + )(7 – ) = 49 – ()2 = 49 – 2 = 47

Вывод

Поды­то­жим ска­зан­ное: су­ще­ству­ют числа, ко­то­рые нель­зя пред­ста­вить в виде обык­но­вен­ной дроби . Такие числа на­зва­ли ир­ра­ци­о­наль­ны­ми (нера­ци­о­наль­ны­ми). При­ме­ра­ми таких чисел яв­ля­ют­ся ; π. Мно­же­ство ир­ра­ци­о­наль­ных чисел I – бес­ко­неч­но. До­ка­за­но, что между двумя ир­ра­ци­о­наль­ны­ми чис­ла­ми уме­ща­ет­ся бес­ко­неч­но много ра­ци­о­наль­ных чисел. Го­во­рят, что мно­же­ство ра­ци­о­наль­ных чисел всюду плот­но. Любое ир­ра­ци­о­наль­ное число пред­став­ля­ет­ся в виде бес­ко­неч­ной де­ся­тич­ной непе­ри­о­ди­че­ской дроби. Су­ще­ству­ют спо­со­бы на­хож­де­ния любой вер­ной цифры такой дроби. Также су­ще­ству­ют ра­ци­о­наль­ные при­бли­же­ния ир­ра­ци­о­наль­ных чисел. Ин­те­рес­на ил­лю­стра­ция ра­ци­о­наль­ных и ир­ра­ци­о­наль­ных чисел на ко­ор­ди­нат­ной пря­мой (рис. 3).

Иллюстрация рациональных и иррациональных чисел на координатной прямой

Рис. 3. Ил­лю­стра­ция ра­ци­о­наль­ных и ир­ра­ци­о­наль­ных чисел на ко­ор­ди­нат­ной пря­мой

Мы ви­де­ли, что по­яв­ле­ние целых, ра­ци­о­наль­ных и ир­ра­ци­о­наль­ных чисел во мно­гом свя­за­но с об­рат­ны­ми опе­ра­ци­я­ми: вы­чи­та­ни­ем, де­ле­ни­ем, из­вле­че­ния корня.